Родился в ст. Пролетарской 8 мая 1923года, где прожил 13 лет. Там учился в школе. В 1936-м году семья преехала в Сальск. Борис Иванович закончил школу №9. С 1939 года работал учеником токаря, затем токарем на механическом заводе им. Братьев Красновых. На фронт был призван в октябре 1941 года сальским военкоматом. в составе 619-го стрелкового полка принимал участие в тяжелых оборонительных боях под Сталинградом. Противник вел ожесточенные бои за овладение высотой 220,1 у х. Бахмацкий, которую защищали подразделения  203-й  стрелковой дивизии Юго-Западного фронта. Шесть дней пулеметное отделение Терентьева участвовало в окружении группировки фашистских войск в междуречье Дона и Волги. Пять атак гитлеровцев были отбиты. Его пулемет не умолкал, когда из расчета остался жив один он. При шестой атаке 26 ноября в 1942 году Терентьев был ранен в ногу. Истекая кровью, он продолжал вести огонь. Теряя сознание, упорно полз к своим, таща за собой привязанный к здоровой ноге пулемет. Гитлеровцы откатились назад. Задание командования-удержать врага-было выполнено. За этот подвиг Указом Призидиума Верховного Совета СССР от 14 февраля 1943 года 19-ти летнему Б.И. Терентьеву было присвоено звание Героя Советского Союза. Раненая нога была ампутирована во время лечения в госпитале. Демобилизовавшись в 1944 году, он вернулься в родной Сальск. После войны работал начальником автоколонны автобазы. В 1964 году ушел на заслуженный отдых по инвалидности. Умер 12 октября 1981 года. Похоронен в г. Сальске на мемориальном комплексе "Поклон" , рядом с войнами-освободителями, погибшими в Великую Отечественную войну. В микрорайоне Заречье г. Сальск находится улица имени Героя Советского Союза Б.И. Терентьева.