С 1919г. по 1922г. вместе с отцом в составе одного из дальневосточных партизанских отрядов участвовал в Гражданской войне. В отряде был посыльным.

После войны служил в ВЧК на станции Иман.

С 1925г. работал шахтером в г.Никольск (совр. Уссурийск).

С 1927г. работал на разных специальностях в Никольских железнодорожных мастерских. 

Учился на электромеханическом факультете Ленинградского института железнодорожного транспорта.

В 1929г. призван в ряды Красной Армии.

8 месяцев служил красноармейцем.

В 1930г. во время военного конфликта на Китайско-Восточной железной дороге (КВЖД) получил два сквозные ранения правой ноги и ранение в грудь.

Поступил в Военная школа морских летчиков и летчиков-наблюдателей ВВС РККА имени Сталина, которую окончил в 1933г.

В 1931г. принят в ряды ВКП(б). Партбилет №1932453.

20 января 1935г. уволен в запас с должности старшего летчика 3 легкой бомбардировочной эскадрильи.

В 1938г. присвоено звание старший лейтенант.

С ноября 1939г. по август 1940г. работал в Магаданском авиаотряде. Выполнил ряд полетов при исключительно сложных метеоусловиях. Был уволен по заключению врачебной комиссии- из-за болезни уха.

09 января 1941г. назначен помощником командира эскадрильи 36 скоростного бомбардировочного авиаполка.

30 октября 1941г. приказом по Дальневосточному фронту Авксентию Андреевичу было присвоено звание капитан.

31 декабря 1941г. направлен на учебу в Военную академию командного и штурманского состава ВВС РККА.

После обучения направлен в Омск в состав 12 бомбардировочного авиаполка. Командир полка майор Козырев Петр Харитонович. Назначен командиром 2 авиаэскадрильи.

С 15 июля 1942г. личный состав полка находился в Омске, на авиазаводе №166 изучал материальную часть самолета Ту-2.

С 07 октября 1942г. по 18 января 1943г. летный состав проходил практическую программу по переучиванию на самолет Ту-2.

С 21 января по 06 февраля полк совершил перелет по маршруту Омск- Свердловск- Казань- Ярославль.

До 26 апреля экипажи отрабатывали бомбометание, воздушную стрельбу и маршрутные полеты. 

С 26 апреля по 07 мая- перелет Ярославль- Красный Кут- Невинномысск.

До 23 мая- боевая подготовка.

23 мая- перелет на аэродром Кореневская (Краснодарский край).

24 мая три самолета полка, которые пилотировали: командир полка майор Козырев, командир 1 эскадрильи капитан Герасимов Николай Константинович и командир 2 эскадрильи капитан Шумейко- бомбардировали позиции противника на высоте 121,0. Были обстрелян зенитной артиллерией противника.

26 мая капитан Шумейко в составе 10 самолетов в период с 05-29 по 07-00 совершил вылет на бомбардировку артиллерийских позиций противника на юго-восточной окраине станицы Киевская. В 06-17 с высоты 2200м. на цель были сброшены 9 фугасных авиабомб ФАб-100 и 2- ФАБ-200. Группа была обстреляна зенитной артиллерией.

С 01 июня по 09 июля личный состав полка занимался командирской учебой, производил учебные вылеты на отработку техники пилотирования и бомбометания.

С 09 по 13 июля полк совершил перелет по маршруту Кореновская- Энгельс- Сушковка.

К 23 июля материальная часть 21 самолета была подготовлена к выполнению дальнейших боевых задач. 

Полк перебазировался на аэродром Ржев.

13 августа 1943г. экипаж бомбардировщика Ту-2: капитан Шумейко, штурман эскадрильи старший лейтенант Лысенко Леонид Иванович, начальник связи эскадрильи старшина Фирсов Карл Иванович, воздушный стрелок старший сержант Арнаутов Николай Васильевич- в составе полковой колонны из 13 самолетов (ведущий- майор Козырев) вылетел на бомбардировку командного пункта и войск противника в пос.Духовщина. В районе цели группа была обстреляна зенитной артиллерией. В период с 10-30 до 10-32 наши самолеты были атакованы 8 истребителями ФВ-190 (Фокке-Вульф). В воздушном бою были сбиты два истребителя. Огнем истребителей были сбиты 2 самолета Ту-2, один подбит.

14 августа тот же экипаж в составе семерки Ту-2, взлетев в 08-50, в 10-27 с высоты 3400м. бомбил войска и технику противника в районе Духовщина. Из-за перекоса одна бомба не сбросилась. В районе Ломоносово был обстрелян своей зенитной артиллерией. В 11-05 экипаж вернулся на свой аэродром.

17 августа тот же экипаж в составе семерки Ту-2, взлетев в 12-20, в 13-11 с высоты 1200м. бомбил войска и автомашины противника в районе Матуховка. Был обстрелян зенитной артиллерией противника. Самолет получил 30 пробоин. Стрелок Арнаутов был ранен в правую ногу. В 13-50 экипаж вернулся на свой аэродром.

Приказом от 17 августа 1943г. капитан Шумейко был награжден орденом Красного Знамени.

23 августа экипаж: капитан Шумейко, старший лейтенант Лысенко, старшина Фирсов, воздушный стрелок старший сержант Левченко Григорий Васильевич- ведущим семерки Ту-2 бомбардировал артиллерию противника в районе Лупшево. В районе цели обстрелян зенитной артиллерий.

04 сентября экипаж: капитан Шумейко, старший лейтенант Лысенко, старшина Фирсов, воздушный стрелок младший лейтенант Бусел Алексей Иосифович- в 14-37 вылетел на бомбардировку артиллерии противника в район Бараново. В полете лопнул петрофлекс и отказа правый мотор. Сбросив бомбы в болото, экипаж в 15-45 вернулся на свой аэродром.

15 сентября полк закончил боевую работу на Калининском фронте.

Был выведен в резерв на подмосковный аэродром Кубинка.

Командиром полка назначен майор Васякин Марк Павлович.

02 октября 1943г. Авксентий Андреевич назначен заместителем командира полка.

16 ноября 1943г. ему было присвоено звание майор.

С июня 1944г. полк действовал на Ленинградском фронте- участвовал в бомбардировке оборонительных сооружений линии Маннергейма, позиций противника в районе Выборга.

10 июня 1944г. экипаж: заместитель командира полка майор Шумейко Авксентий Андреевич, штурман, он же помощник командира полка по воздушно-стрелковой службе лейтенант Глинка Алексей Павлович, воздушный стрелок-радист старшина Еремин Анатолий Степанович, воздушный стрелок старшина Кошлич Федор Фомич- в 10-47 ведущим 8 самолетов Ту-2 вылетел на бомбардировку узла сопротивления противника в районе Малого и Большого Коллелово (Парголовский р-н, Ленинградская обл.). В 11-35 экипаж сбросил на огневые позиции противника 2 фугасные авиабомбы ФАБ-250 и 9- ФАБ-100. В результате прямого попадания снаряда самолет взорвался и сгорел в воздухе. Экипаж погиб.

Указом Президиума ВС СССР от 02 августа 1944г. майору Шумейко присвоено звание Герой Советского Союза, посмертно.

Награжден медалью «За оборону Кавказа», посмертно.