Александр Фёдорович родился 1 октября 1926 года в деревне Трунино Петровского сельского совета Кирилловского района. В 1934–1943 годах учился в Кирилловской средней школе, закончил 8 классов. 28 октября 1943 года был призван в ряды Красной Армии. В 1943–1945 годах служил стрелком в 20-м отдельном стрелковом батальоне и 630-м  стрелковом полку, с апреля 1945 по февраль 1946 года был курсантом 5-го армейского запасного стрелкового полка, а затем до  мая 1946 года служил телеграфистом в 596-м батальоне аэродромного обслуживания. Позднее был переведён на должность линейного надсмотрщика в 42-м авиационном техническом батальоне, где и проходил службу вплоть до увольнения в запас 1 декабря 1950 г. Служил на Дальнем Востоке и Камчатке.

В 1951 году начал работать в Кирилловском районном Доме культуры художником. В 1956–1961 годах Александр Фёдорович учился  в Ярославском художественном училище и получил специальность учителя рисования и черчения. После окончания учёбы А. Ф. Поздняков был направлен на работу в Кирилловский историко-художественный музей искусствоведом. С 1963 по 1974 год работал директором музея, затем начальником Кирилловского реставрационного участка. В 1976–1986 гг. возглавлял художественную мастерскую районного Дома культуры.

А.Ф. Поздняков награждён медалями «За победу над Японией», «ХХХ лет Советской Армии и Флоту» и другими юбилейными медалями.

Скончался 18 февраля  2007 года,  похоронен на городском кладбище в Кириллове.