Алексей Александрович родился в небольшом селе Первое Никольское Бобровского уезда Воронежской губернии (ныне деревня Духовое Лискинского района) в многодетной семье Александра и Варвары Костиных. Окончив 7 классов начальной школы в городе Ростове-на-Дону (жил у тёток), поступил в автотракторную школу в городе Россошь, которую окончил в 1926 году. Свой военный путь начал в октябре 1929 года в должности бойца в 25-м автопарке.

С ноября 1929 года по июнь 1930 года слушал курсы механиков-мотористов и младших автотехников в 40-й Ворошиловградской окружной школе младших авиаспециалистов (ШМАС) при Ворошиловградской военной авиационной школе имени Пролетариата Донбасса в городе Ворошиловград (ныне Луганск). С июня 1930 по январь 1931 года служил в 30-й отдельной авиационной эскадрилье в должности авиамоториста. С января 1931 по октябрь 1931 года был помощником командира взвода в 17-й Троицкой дивизионная ШМАС авиационных механиков при Троицкой военной авиационной в городе Азов Ростовской области РСФСР. С октября 1931 по ноябрь 1932 снова вернулся в 30-ю отдельную авиаэскадрилью, но уже в должности младшего авиатехника. С ноября 1932 по март 1933 года был курсантом 1-ой военной школы авиационных техников им. К. Е. Ворошилова.

С марта 1933 по май 1934 года служил техником звена в 30-й отдельной авиаэскадрильи. С мая 1934 по июнь 1936 года — старшим техником неотдельного отряда 9-й легкобомбардировочной эскадрильи, а с июня 1936 по ноябрь 1938 — младшим инженером неотдельного отряда этой же эскадрильи. С ноября 1938 года в должности инженера отдела авиации трудился в 152-м отдельном легкобомбардировочном авиационном полку. С мая 1939 года по ноябрь 1940 года в этой же должности — в Орловском областном совете. С ноября 1940 по май 1941 года служил инженером-диспетчеров в Центральном Совете ОСО.

Войну встретил в 25-й школе лётчиков в должности начальника авиа-мастерской, на которой трудился с мая 1941 года по февраль 1942 года. С февраля по май 1942 служил во 2-й стационарной авиационной ремонтной мастерской Закавказского фронта в должности начальника подготовки призывников.

С мая 1942 года по август 1943 года был слушателем курсов Военно-воздушной академии имени Жуковского, после чего по ноябрь 1944 года трудился старшим инженером-инспектором по ремонту самолётов и моторов в Сталинградском В.О. ВВС. В этой же должности с ноября 1944 года по январь 1946 года — в Киевском В.О. ВВС. С января 1946 по октябрь 1946 был начальником авиационных мастерских Конотопской авиационной школы имени П. Осипенко.

В годы Великой Отечественной войны осуществлял инженерное и техническое обслуживание боевых самолётов. Был контужен. Награждён орденом Красной Звезды, медалью «За боевые заслуги», медалью «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.».