Родился Эдем Газиевич в крестьянской семье в деревне Ай-Тодор Балаклавского района Крымской области. Был восьмым ребёнком в семье. После окончания семилетки в 1938 г. поступил в Ялтинское татарское училище. А окончить его не смог: старший брат добровольцем пошёл на фронт, и нужен был уход за престарелыми родителями. Любовь к родителям оказалась сильнее любви к избранной профессии.
8 сентября 1941 г. его призвали на военную службу, и он попал в Майкопское авиаучилище. Но вскоре училище эвакуировали, а весь курсантский состав перебросили в Урюпинское военно-пехотное училище. Окончив его, лейтенант Эюпов 6 июня 1942 г. отправился в распоряжение Военного Совета Южного Фронта в город Ворошиловград и бМог ли представить себе молодой лейтенант в тот роковой день 1942-го, когда с тяжёлыми боями шёл на верную гибель со своей стрелковой ротой, что донская земля станет его второй родиной! Почти весь полк погиб под хутором Верхний Хомутец Весёловского района. Эдема ранило и оглушило.

7 санитарных машин загрузили ранеными, на одной из них лежал лейтенант Эюпов. Раненых везли в Армавир в госпиталь — четверо суток без лекарств, без воды, без пищи. А 31 июля 1943 г. в Сальске, у железнодорожного переезда, машины попали под обстрел вражеских «мессеров». Две из семи машин загорелись сразу. На одной из них с перебитыми ногами лежал Эдем Газиевич. Он вспоминал: «У кого ноги были целые, те попрыгали на землю и разбежались кто куда. Я, задыхаясь от дыма и газов горящей машины, подполз к заднему борту, с трудом вывалился через борт на землю и потерял сознание. А когда очнулся, увидел над собой зелёные ветки. Оглянулся кругом и увидел, что и справа и слева от меня раненые».

Жительницы города, дождавшись конца обстрела, на руках стали перетаскивать раненых во двор школы механизации.

Эдема Газиевича спасла девушка Ольга Николаевна Скрынникова и её мама. А через час в город ворвались немцы. Раненых скрывали по домам. Своей второй мамой Эдем Газиевич считает Евдокию Ивановну Шавкута, школьную учительницу, которая поставила юношу на ноги и тот в благодарность забрал её в свой дом и до последнего дня (а Евдокия Ивановна прожила 93 года) был с ней рядом.

Став инвалидом II группы, на фронт Эюпов не вернулся, пошёл работать военруком в ту школу, на территории которой был спасён местными жителями. Раны давали о себе знать. Пришлось осваивать костыли.

После очередной болезни в школу № 2, где Эдем Газиевич преподавал ранее, его не взяли. В разных инстанциях отвечали: кандидатура не подходит. Люди перестраховывались, на «национальные» кадры смотрели с настороженностью. Душила боль и обида: быть членом партии, воевать, умирать за Родину — кандидатура подходила, а продолжать учить детей — нет! Помог секретарь ГК КПСС Е. П. Кухтин, которого ветеран всегда вспоминал добрым словом: направил его в школу № 5, где фронтовику дали возможность вести рисование, черчение, физкультуру. Попутно Эюпов осваивал фотодело.

В Сальске Эдем Газиевич встретил Тамару Георгиевну Черкашину. Они прожили счастливо более 50 лет, вырастили троих детей и семерых внуков.
Э. Г. Эюпов прожил большую и достойную жизнь. Решением городской Думы ему по праву присвоено звание «Почётный гражданин города Сальска и Сальского района».