Александр Николаевич родился 13.07.1922 года в с. Бусиново Ульяновской волости Московского уезда Московской губернии (ныне в черте Москвы), в семье рабочего. Образование неполное cреднее, работал на Московском авиационном заводе. В Красной Армии с 1941 года. Окончил танковое училище.

В боях Великой Отечественной войны с ноября 1941 года. Командир САУ 251-го гвардейского самоходного артиллерийского полка (2-й гвардейский механизированный корпус, 46-я армия, 2-й Украинский фронт) гвардии лейтенант Елагин отличился в боях за освобождение Венгрии, подбил несколько вражеских танков. Был ранен, но продолжал вести бой. 25.03.1945 года в бою в районе г. Дьёр подавил огонь артиллерийской батареи, сжег 2 штурмовых орудия и уничтожил до взвода пехоты противника. Вывел горящую машину с раненым экипажем из окружения.

Звание Героя Советского Союза присвоено 15.05.1946 года. Награжден орденом Ленина, 2 орденами Отечественной войны I степени, орденом Красной Звезды, медалями. 

С 1945 года капитан Елагин – в запасе. После войны (и до самой смерти в 1992 году) Александр Николаевич проживал в поселке Фирсановка Химкинского района.