Григорий Чекменёв родился 24 января 1914 года в селе Янкуль (ныне — Андроповский район Ставропольского края). После окончания семи классов школы работал водителем. В 1936 году Чекменёв был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. Окончил полковую школу.

На фронт Григорий Чекменев ушел в самом начале войны – в июле 1941 года. Принимал участие в битве за Кавказ, освобождении Таганрога, Одессы и Белоруссии (операция «Багратион»).К июню 1944 года старший лейтенант Григорий Чекменёв командовал взводом 1675-го артиллерийско-миномётного полка 30-й кавалерийской дивизии 1-го Белорусского фронта. Отличился во время освобождения Брестской области Белорусской ССР..

. 6 июня 1944 года в бою у деревне Будзевичи Барановичского района Чекменёв, оставшись у орудия с одним артиллеристом, лично вёл огонь, подбив несколько немецких танков. 8 июля 1944 года в бою за деревню Тешевле того же района Чекменёв Г.А.(мой дедушка) погиб.Ему тогда было всего 30 лет Похоронен в братской могиле в Тешевле (есть музей боевой славы им.Чекменёва Г.А.)

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 25 сентября 1944 года старший лейтенант Григорий Чекменёв посмертно был удостоен высокого звания Героя Советского Союза. Также был награждён орденами Ленина и Красной Звезды, медалью.http://www.warheroes.ru

В честь Чекменёва Григория Анатольевича  названа улица в селе Курсавка Ставропольского края и улица в г. Сочи Краснодарского края