Родился в 1920 году селе Тятяковка Веневского уезда (ныне Новомосковского района) Тульской области. Окончив начальную школу, трудился в колхозе. В 1938 году переехал в Москву, где работал грузчиком на мясокомбинате.

В РККА — с октября 1940 года (призван Подольским РВК Московской области). Участник Великой Отечественной войны на Сталинградском (февраль 1942 — март 1943), Южном (с мая 1943), 4-м Украинском, 1-м Прибалтийском и 3-м Белорусском фронтах.

В январе 1943 года легко ранен. 29 августа 1943 года в бою под Покрово-Киреевский минометный номер 4-й батареи 2-го дивизиона 483-го минометного полка 2-й гвардейской армии Южного фронта гвардии красноармеец Михаил Бажанов в составе своего минометного расчета уничтожил одну бронемашину противника и рассеял до роты пехоты противника. За бои на реках Миус и Молочная в декабре 1943 года был награжден орденом Славы 3 степени.

Член ВКП(б) с сентября 1944 года. 12 октября 1944 года в районе Укпелькен (Восточная Пруссия) противник перешел в контратаку при поддержке самоходных орудий и бронетранспортеров с целью перерезать железную дорогу Тильзит-Мемель. Прорвав передний край советских войск, ударная группировка вышла на правый фланг в район 4-й минометной батареи, где красноармеец Михаил Бажанов работал наводчиком одного из минометов. Одно из самоходный орудий открыло огонь в упор по минометному расчету Бажанова. В критической ситуации Бажанов не растерялся и открыл ответный огонь, меткими выстрелами сковав действия самоходного орудия. В результате скоротечной дуэли Бажанов уничтожил 19 солдат противника и 1 бронетранспортер. Контратака была отбита. По оценке командира 483-го армейского минометного полка гвардии подполковника Ковальчука, «в этом бою тов. Бажанов проявил исключительную выдержку и смелость». 1 декабря 1944 года награжден орденом Славы 2 степени.

17 апреля 1945 года командир миномета 4-й батареи 483-го армейского минометного полка 2-й армии 3-го Белорусского фронта младший сержант Михаил Бажанов отличился в боях в Восточной Пруссии. Наткнувшись на пулеметный огонь в районе южнее Тенкиттен (ныне Летное Романовского сельского совета Зеленоградского района Калининградской области), советская пехота залегла. Выдвинув миномет на отрытую позицию, расчет Бажанова меткими выстрелами подавил пулеметную точку противника и завязал минометно-артиллерийскую дуэль с немецким орудием. Заменив раненого наводчика, контуженному Бажанову удалось за 5 минут подавить и это орудие противника. Награжден орденом Славы 1 степени. 

Умер 27 августа 1997 года.