Родился в 1907 году в поселке Ржавец Ряжского уезда Рязанской губернии в семье Степана Семеновича и Марии Васильевны Куренковых. В доме проживали еще девять близких родственников, а во главе семьи стоял дед по отцу Семен Иванов Куренков. В хозяйстве было семь с половиной десятин надельной и шесть десятин арендуемой земли, три лошади, корова и стадо овец. В 1912 году у Андрея родился брат Павел, а в 1914 году — Петр.

15 сентября 1916 года отец Андрея, служивший в годы Первой мировой войны рядовым 11-го Кавказского стрелкового полка, был убит в бою у реки Лауцеса (на современной литовско-латвийской границе). Спустя два месяца от воспаления легких скончался родной дядя Николай Семенович Куренков. Хозяйство перешло матери. 

После революции Куренковы жили бедно. Мария Васильевна трудилась одна и кормила всю семью: шестерых детей и 80-летнюю старуху (предположительно, свекровь). 

В декабре 1921 года Марию Васильевну Куренкову обвинили в неуплате продналога. 

За отсутствием рабочих в семье <…> я не могла своим трудом обрабатывать земли, а потому земля хотя и засевалась полностью, однако за несвоевременным севом хлеб родился плохо и я не могла полностью выплатить налога.

— М.В. Куренкова, показания из следственного дела

Решением Рязанского губернского Ревтрибунала у семьи конфисковали овцу и единственную корову условно. В июне 1922 года приговор отменили “за отсутствием злостности”.

Единственно возможным социальным лифтом могла стать армия, чем и воспользовался Андрей Куренков: после призыва в сентябре 1929 года он поступил на службу курсантом в воинскую часть № 11-63, дислоцированную в деревне Куйвози Ленинградской области. На следующий год вступил в комсомол и вскоре занял должность помощника командира взвода. В марте 1932 года решение Парткомиссии отдельного крепостного пулеметного батальона Ленинградского военного округа был принят в члены ВКП(б). В 1934 году служил политруком взвода отряда военизированной охраны Сандовского отдельного участка канала «Москва-Волга».